Mathematik
Bruchrechnung im Einstellungstest: kürzen, Hauptnenner, Kehrwert
Welche Bruchregeln brauche ich im Einstellungstest?
Addieren und Subtrahieren nur bei gleichem Nenner: erst auf den Hauptnenner (das kgV der Nenner) bringen, dann die Zähler verrechnen. Multiplizieren: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner, vorher über Kreuz kürzen. Dividieren: mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren. Gemischte Zahlen vorher in unechte Brüche umwandeln und das Ergebnis vollständig kürzen.
Inhalt
Wo Brüche im Test vorkommen
Bruchaufgaben stehen im Test direkt („Berechne 3/4 + 5/6“) oder versteckt in Textaufgaben („Drei Achtel der Anträge sind bearbeitet“). Beim Test der dgp, den viele Kommunen einsetzen, ist kein Taschenrechner erlaubt. Für eine Bruchaufgabe bleiben meist 30 bis 60 Sekunden. Das reicht nur, wenn Teilbarkeitsregeln, Hauptnenner und Kehrwert sitzen.
Teilbarkeitsregeln zum schnellen Kürzen
| Teiler | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| 2 | letzte Ziffer gerade | 3.578 |
| 3 | Quersumme durch 3 teilbar | 471: 4 + 7 + 1 = 12 |
| 4 | letzte zwei Ziffern durch 4 teilbar | 5.316: 16 |
| 5 | letzte Ziffer 0 oder 5 | 2.345 |
| 6 | durch 2 und durch 3 teilbar | 714 |
| 8 | letzte drei Ziffern durch 8 teilbar | 7.128: 128 |
| 9 | Quersumme durch 9 teilbar | 5.742: Quersumme 18 |
| 25 | endet auf 00, 25, 50 oder 75 | 3.175 |
Vorsicht bei Zahlen, die wie Primzahlen aussehen: 51 = 3 · 17, 57 = 3 · 19 und 91 = 7 · 13. Die 1 ist keine Primzahl, weil sie nur einen Teiler hat.
ggT und kgV über die Primfaktoren
Zerlege beide Zahlen in Primfaktoren: 48 = 2⁴ · 3 und 180 = 2² · 3² · 5.
Der ggT (größter gemeinsamer Teiler) nimmt die gemeinsamen Primfaktoren mit dem kleinsten Exponenten: ggT(48, 180) = 2² · 3 = 12. Mit ihm kürzt du. Das kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) nimmt alle Primfaktoren mit dem größten Exponenten: kgV(48, 180) = 2⁴ · 3² · 5 = 720. Es ist der Hauptnenner beim Addieren. Kontrolle: ggT · kgV = Produkt der Zahlen, 12 · 720 = 8.640 = 48 · 180.
Die Rechenregeln
- Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen: 36/48 = 3/4 (durch 12).
- Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren: 3/4 = 9/12.
- Addieren und Subtrahieren: auf den Hauptnenner bringen, dann nur die Zähler verrechnen: 3/4 + 5/6 = 9/12 + 10/12 = 19/12 = 1 7/12.
- Multiplizieren: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner, vorher über Kreuz kürzen: 4/9 · 3/8 = 1/3 · 1/2 = 1/6.
- Dividieren: mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren: 2/3 : 4/5 = 2/3 · 5/4 = 10/12 = 5/6.
- Gemischte Zahlen: vor dem Multiplizieren und Dividieren umwandeln: 2 1/4 = 9/4.
Ein Doppelbruch ist nur eine Division: (3/4) : (9/8) = 3/4 · 8/9 = 2/3.
Bruchteile von Mengen und Brüche vergleichen
In Textaufgaben fragt der Bruch meist nach einem Anteil. „3/8 von 72 Anträgen sind bearbeitet“: Teile zuerst durch den Nenner, dann multipliziere mit dem Zähler. 72 : 8 = 9, 9 · 3 = 27 Anträge. In dieser Reihenfolge bleiben die Zahlen klein.
Zwei Brüche vergleichst du über die Kreuzprodukte. Ist 5/8 größer als 3/5? 5 · 5 = 25 und 3 · 8 = 24; weil 25 > 24, ist 5/8 größer. Bei gleichem Zähler gilt: Je größer der Nenner, desto kleiner der Bruch – 2/9 < 2/7 < 2/5.
Brüche hängen eng mit Prozenten zusammen: 1/4 = 25 %, 1/8 = 12,5 %, 3/5 = 60 %. Wer die gängigen Paare kennt, rechnet viele Aufgaben aus der Prozentrechnung schneller.
Typische Fehler
- Zähler und Nenner getrennt addieren: 2/3 + 3/8 wird fälschlich 5/11. Richtig: 16/24 + 9/24 = 25/24.
- Kehrwert vom falschen Bruch: Bei a/b : c/d wird der zweite Bruch umgedreht, nicht der erste.
- Bei gemischten Zahlen nur den Bruchteil multiplizieren: 2 1/4 · 2/3 ist nicht 2 1/6, sondern 9/4 · 2/3 = 3/2.
- Nicht vollständig kürzen: 10/12 statt 5/6 stehen lassen. Die Antwortoptionen sind meist gekürzt.
- 1 für eine Primzahl halten oder 91 übersehen.
Übungsbeispiele mit Lösung
Erst selbst lösen, dann die Lösung aufklappen.
Beispiel 1: Addieren mit Hauptnenner
Berechne 5/6 + 3/8.
Lösung anzeigen
kgV(6, 8) = 24. 5/6 = 20/24, 3/8 = 9/24. Summe 29/24 = 1 5/24.
Beispiel 2: Dividieren mit gemischter Zahl
Berechne 1 1/2 : 3/4.
Lösung anzeigen
1 1/2 = 3/2. 3/2 · 4/3 = 12/6 = 2. Probe: 3/4 · 2 = 6/4 = 1 1/2.
Beispiel 3: Anteil einer Menge
Ein Amt hat 96 Akten. 5/12 davon sind archiviert, 1/4 ist noch offen, der Rest in Bearbeitung. Wie viele Akten sind in Bearbeitung?
Lösung anzeigen
Archiviert: 96 : 12 · 5 = 40. Offen: 96 : 4 = 24. In Bearbeitung: 96 − 40 − 24 = 32 Akten. Alternative: 1 − 5/12 − 3/12 = 4/12 = 1/3, und 96 : 3 = 32.
Beispiel 4: Brüche ordnen
Ordne der Größe nach: 3/7, 2/5, 5/11.
Lösung anzeigen
Kreuzprodukte: 3/7 gegen 2/5: 15 > 14, also 3/7 > 2/5. 5/11 gegen 3/7: 35 > 33, also 5/11 > 3/7. Ergebnis: 2/5 < 3/7 < 5/11.
Wissenscheck: 4 Fragen
Eigene Übungsfragen, keine Originalaufgaben eines Auswahlverfahrens. Lösungen und Erklärungen lassen sich auch ohne JavaScript öffnen.
Begriffe im Glossar
Quellen
- dgp e. V.: Informationen für Bewerberinnen und Bewerber (Test ohne Taschenrechner)
- dgp e. V.: Test Verwaltung – Modul Zahlen (Grundrechnen, Textrechnen)
- Zoll: Auswahlverfahren mittlerer Dienst (Rechenaufgaben)
Die Zusammenfassung dient dem Lernen. Verbindlich sind allein Ausschreibung, Einladung und Vorgaben der Behörde, bei der du dich bewirbst. Die Einstellungstest-Wissensdatenbank ist kein amtliches Angebot und verspricht keinen Testerfolg. Einen Fehler gefunden? Schreib uns über Hilfe und Kontakt.
Weiterüben in der App
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